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12．如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD為⊙O的切線，過A作CD的垂線，垂足為D，交⊙O于F．
（1）求證：AC為∠DAB的角平分線；
（2）過C作AB的垂線，垂足為M，若⊙O的直徑為8，且OM：MB=3：1，求DF•AD的值．

分析 （1）連接OC，運用圓的切線的性質和兩直線平行的判定和性質，由內角平分線的定義，即可得證；
（2）由AC⊥BC，CM為斜邊AB上的高，運用直角三角形的射影定理，結合圓的切割線定理，即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：連接OC，
CD為⊙O的切線，可得OC⊥CD，
又AD⊥CD，
可得OC∥AD，
所以∠CAD=∠ACO，
又OC=OA，所以∠CAO=∠ACO，
所以∠CAO=∠CAD
所以AC為∠DAB的角平分線．
（2）由題意⊙O的直徑為8，OM：MB=3：1，
可得OM=3，MB=1，
由AC⊥BC，CM為斜邊AB上的高，
可得CM2=AM•MB=7，
又AC=AC，∠CAO=∠CAD，
所以Rt△ACB≌Rt△ACD，
所以CD=CM，
又CD2=DF•DA，
而CD2=7．
所以DF•DA=7．

點評 本題考查圓的切線的性質和直角三角形的射影定理、切割線定理的運用，考查三角形全等和內角平分線的定義，考查推理和運算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

2．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的方程是（x-2）2+（y-l）2=4，直線l經過點P（3，$\sqrt{3}$），傾斜角為$\frac{π}{6}$，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）寫出曲線C的極坐標方程和直線l的參數方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求|OA|•|OB|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

3．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于D，交△ABC的外接圓于E，延長AC交△DCE的外接圓于F
（1）求證：BD=DF；
（2）若AD=3，AE=5，求EF的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

20．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．圓C，直線l的極坐標方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求圓C與直線l的直角坐標方程，并求出直線l與圓C的交點的直角坐標；
（2）設點P為圓C的圓心，點Q為直線l被圓C截得的線段的中點．已知直線PQ的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x={t^5}+m\\ y=\frac{4}{n}{t^5}-2\end{array}$（t為參數，t∈R），求實數m，n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

7．在圓內接四邊形ABCD中，AD為圓的直徑，對角線AC與BD交于點Q，AB，DC的延長線交于點P，連接PQ并延長交AD于點E，連接EB．
（1）求證：PE⊥AD；
（2）求證：BD平分∠EBC．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

17．如圖，☉O1，☉O2交于兩點P，Q，直線AB過點P，與⊙O1，⊙O2分別交于點A，B，直線CD過點Q，與⊙O1，⊙O2分別交于點C，D．求證：AC∥BD．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

4．設矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{3}&{-7}\end{array}]$的逆矩陣為A-1，矩陣B滿足AB=$[\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}]$，求 A-1，B．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

1．已知曲線C1：x2+y2-2x-4y+m=0．
（1）若曲線C1是一個圓，且點P（1，1）在圓C1外，求實數m的取值范圍；
（2）當m=4時，曲線C1關于直線x+y=0對稱的曲線為C2．設P為平面上的點，滿足：存在過P點的無窮多對互相垂直的直線L1，L2，它們分別與曲線C1和曲線C2相交，且直線L1被曲線C1截得的弦長與直線L2被曲線C2截得的弦長總相等．
（1）求所有滿足條件的點P的坐標；
（2）若直線L1被曲線C1截得的弦為MN，直線L2被曲線C2截得的弦為RS，設△PMR與△PNS的面積分別為S1與S2，試探究S1•S2是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

2．直線l1的傾斜角的余弦為-$\frac{1}{2}$，直線l2的傾斜角的正切值為$\frac{1}{\sqrt{3}}$，則l1與l2的關系是垂直．

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