Question

19．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=2AB=4，$A{A_1}=2\sqrt{2}$，E是A₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）在平面A₁B₁C₁D₁內(nèi)，請(qǐng)作出過點(diǎn)E與CE垂直的直線l，并證明l⊥CE；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中所作直線l與CE確定的平面為α，求點(diǎn)C₁到平面α的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接B₁E，C₁E，則直線B₁E即為所求直線l，推導(dǎo)出B₁E⊥CC₁，B₁E⊥C₁E，能證明l⊥CE．
（Ⅱ）連接B₁C，則平面CEB₁即為平面α，過點(diǎn)C₁作C₁F⊥CE于F，則C₁F⊥平面α，直線CC₁和平面α所成角為∠FCC₁，由此能求出點(diǎn)C₁到平面α的距離．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示，連接B₁E，C₁E，則直線B₁E即為所求直線l…（3分）
∵在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴B₁E⊥CC₁…（4分）
∵B₁C₁=2A₁B₁=4，E是A₁D₁的中點(diǎn)
∴B₁E⊥C₁E…（5分）
又CC₁∩C₁E=C₁
∴B₁E⊥平面CC₁E
∴B₁E⊥CE，即l⊥CE…（6分）
（Ⅱ）如圖所示，連接B₁C，則平面CEB₁即為平面α
過點(diǎn)C₁作C₁F⊥CE于F…（7分）
由（Ⅰ）知B₁E⊥平面CC₁E，故B₁E⊥C₁F
∵C₁F⊥CE，CE∩B₁E=E
∴C₁F⊥平面CEB₁，即C₁F⊥平面α…（9分）
∴直線CC₁和平面α所成角為∠FCC₁…（10分）
∵在△ECC₁中，$E{C_1}=C{C_1}=2\sqrt{2}$，且EC₁⊥CC₁
∴C₁F=2…（11分）
∴點(diǎn)C₁到平面α的距離為2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的作法與證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．