Question

11．如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1．
（1）求異面直線(xiàn)AB、CD之間的距離；
（2）求點(diǎn)A到平面BCD的距離；
（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AF、BF，推導(dǎo)出EF⊥AB，且EF⊥CD，從而EF長(zhǎng)是異面直線(xiàn)AB、CD之間的距離，由此能求出異面直線(xiàn)AB、CD之間的距離．
（2）過(guò)A作AO⊥平面BCD，交BF于O，由勾股定理能求出點(diǎn)A到平面BCD的距離．
（3）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h，由V_E-ACD=V_C-AED，利用等積法能求出點(diǎn)E到平面ACD的距離．

解答 解：（1）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，E、F分別為AB、CD中點(diǎn)，
連結(jié)AF、BF，∴CE=DE=BF=AF=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴EF⊥AB，且EF⊥CD，∴EF長(zhǎng)是異面直線(xiàn)AB、CD之間的距離，
∴異面直線(xiàn)AB、CD之間的距離EF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）過(guò)A作AO⊥平面BCD，交BF于O，
則BO=$\frac{2}{3}BF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)A到平面BCD的距離AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h，
∵V_E-ACD=V_C-AED，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△ACD}×h=\frac{1}{3}×{S}_{△AED}×AO$，
∴h=$\frac{{S}_{△AED}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{{S}_{△AED}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{2{S}_{△AED}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩異面直線(xiàn)間的距離、點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等積法的合理運(yùn)用．