Question

12．已知函數(shù)f（x）=|a^x-1|（a＞1）的圖象為曲線C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，曲線C上存在點(diǎn)Q，使得OP⊥OQ，則實(shí)數(shù)a的取值集合是{e}．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象觀察P，Q的存在性，考慮P，Q與O重合的情況，求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率之積為-1，解方程可得a的值．

解答 解：若P不與O重合，P在y軸的一側(cè)，則與OP垂直的OQ，
則Q在y軸的另一側(cè)，
若P從左邊與O重合，則P在y=1-a^x圖象上，
可得導(dǎo)數(shù)為-a^xlna，
由題意可得Q從右邊與O重合，
則Q在y=a^x-1圖象上，
可得導(dǎo)數(shù)為a^xlna，
且有-a^xlna•-a^xlna=-1，
可令x=0，解得lna=±1，
解得a=e（$\frac{1}{e}$舍去）．
故答案為{e}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象和應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．