Question

3．在平面直角系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)為ρ=2cosθ，且直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于不同兩點(diǎn)A，B．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0），若|MA|•|MB|=1，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的普通方程為：$y=\frac{4}{3}（x-m）$，曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2x，圓心（1，0）．由題意知圓心到直線l的距離d＜1，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C：x²+y²=2x，得25t²+（6m-6）t+m²-2m=0，由|MA|•|MB|=1，能求出實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）∵直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為：$y=\frac{4}{3}（x-m）$，
∵曲線C的極坐標(biāo)為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2x，圓心（1，0），半徑r=1，
由題意知圓心到直線l的距離$d=\frac{{|{\frac{4}{3}（1-m）}|}}{{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}}＜1$，
解得$m∈（{-\frac{1}{4}，\;\;\frac{9}{4}}）$．
（2）直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+3t\\ y=4t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C：x²+y²=2x，
得25t²+（6m-6）t+m²-2m=0，
設(shè)方程的兩根為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\frac{6-6m}{25}$，t₁t₂=$\frac{{m}^{2}-2m}{25}$，
∵|MA|•|MB|=1，∴|m²-2m|=1，
解得m=1或$1+\sqrt{2}$（舍）或$1-\sqrt{2}$（舍）．
綜上，實(shí)數(shù)m的值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查兩線段的乘積的求法應(yīng)用，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．