Question

已知函數f（x）=k•2^x+2^-x（k是常數）．
（1）若函數f（x）是R上的奇函數，求k的值；
（2）若對于任意x∈[-3，2]，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）運用f（-x）=-f（x），f（0）=0，求解得出 k=-1，
（2））解法1：對于任意x∈[-3，2]，不等式k＜-[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x都成立．轉化為對于任意t∈[

1

4

，8]，不等式k＜-t²+t都成立，
只需 k＜（-t²+t）_min即可．
解法2：對于任意t∈[

1

8

，4]，不等式k•t²-t+1＜0都成立．又令 g（t）=k•t²-t+1．分類討論求解轉化為不等式組求解即可．

解答： 解：（1）因為函數f（x）是R上的奇函數，則f（-x）=-f（x），
令x=0，所以 f（0）=0，即 k•2⁰+2⁰=0，即 k+1=0，解得 k=-1，
此時 f（x）=-2^x+2^x，因為 f（-x）=-2^-x+2^x，即 f（-x）=-（-2^x+2^-x），
則 f（-x）=-f（x）．所以當函數f（x）是R上的奇函數，k=-1．
（2）解法1：由題意知對于任意x∈[-3，2]，不等式k•2^x+2^-x＜1都成立．
即對于任意x∈[-3，2]，不等式k•2x＜-

1

2x

+1都成立．
因為2^x＞0，則對于任意x∈[-3，2]，不等式k＜-[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x都成立．
令 t=(

1

2

)x，則 t∈[

1

4

，8]，且對于任意t∈[

1

4

，8]，不等式k＜-t²+t都成立，
只需 k＜（-t²+t）_min即可．
因為t∈[

1

4

，8]，所以 -t2+t∈[-56，

1

4

]，
即 （-t²+t）_min=-56，因此 k＜-56．
解法2：由題意知對于任意x∈[-3，2]，不等式k•2^x+2^-x＜1都成立．
因為2^x＞0，所以對于任意x∈[-3，2]，不等式k•（2^x）²-2^x+1＜0都成立．
令 t=2^x，則 t∈[

1

8

，4]，且對于任意t∈[

1

8

，4]，不等式k•t²-t+1＜0都成立．
又令 g（t）=k•t²-t+1．
①當k=0時，g（t）=-t+1，g(

1

8

)=

7

8

＞0，不符合題意；
②當k＞0時，函數g（t）=k•t²-t+1圖象的開口向上，則得 

k＞0 g( 1 8 )＜0 g(4)＜0

，
即 

k＞0 ( 1 8 )2•k- 1 8 +1＜0 42•k-4+1＜0

⇒k∈∅；
③當k＜0時，函數g（t）=k•t²-t+1圖象的開口向下，對稱軸是直線x=

1

2k

   (＜0)，
函數g（t）在區(qū)間[

1

8

，4]上是減函數，則得 

k＜0 g( 1 8 )＜0

，即 

k＜0 ( 1 8 )2•k- 1 8 +1＜0

，
解得：k＜-56．
綜上：k＜-56，

點評：本題綜合考查了函數的性質，不等式的性質，運用分類討論，基本不等式求解，屬于綜合題，難度較大．