【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=,EF=1,BC=,且M是BD的中點(diǎn)。

(1)求證:EM∥平面ADF;

(2)求二面角D-AF-B的余弦值;

(3)在線段ED上是否存在一點(diǎn)P,使得BP∥平面ADF?若存在,求出EP的長度;若不存在,請說明理由。

【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析

【解析】

1)取AD的中點(diǎn)N,連接MN、NF.由三角形中位線定理,結(jié)合已知條件,證出四邊形MNFE為平行四邊形,從而得到EMFN,結(jié)合線面平行的判定定理,證出EM∥平面ADF

2建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,求出平面ADF、平面EBAF的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,可求二面角DAFB的大。

3)假設(shè)在線段ED上存在一點(diǎn)P,使得BP與平面ADF平行,利用向量法即可得到結(jié)果.

1)取AD的中點(diǎn)N,連接MN,NF。

在△DAB中,MBD的中點(diǎn),NAD的中點(diǎn),所以MNAB,MN=AB

又因?yàn)?/span>EFAB,EF=AB,

所以MNEFMN=EF,

所以四邊形MNFE為平行四邊形,

所以EMFN

又因?yàn)?/span>FN平面ADF,EM平面ADF,

EM∥平面ADF。

解法二:因?yàn)?/span>EB⊥平面ABDABBD,故以B為原點(diǎn),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz。

由已知可得B00,0),A02,0),D3,0,0),C3,-20),

E0,0,),F0,1,),M,0,0)。

1=,0,),=3,-2,0),=0,-1,)。

設(shè)平面ADF的一個(gè)法向量是

,則=23,)。

又因?yàn)?/span>·=,0,)·(23,=3+03=0,

所以,又EM平面ADF,所以EM∥平面ADF

2)由(1)可知平面ADF的一個(gè)法向量是=2,3)因?yàn)?/span>EB⊥平面ABD,所以EBBD,

又因?yàn)?/span>ABBD,所以BD⊥平面EBAF,故=3,0,0)是平面EBAF的一個(gè)法向量,

所以>=,又二面角DAFB為銳角,故二面角DAFB的余弦值為。

3)假設(shè)在線段ED上存在一點(diǎn)P,使得BP與平面ADF平行。

不妨設(shè)= =30,- )(01),

=3,0,3 )。所以·n=6+0+33=0,

由題意得=<0,所以在線段ED上不存在點(diǎn)P,使得BP與平面ADF平行。

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)是雙曲線:的右焦點(diǎn),左支上的點(diǎn),已知,則周長的最小值是_______

【答案】

【解析】

設(shè)左焦點(diǎn)為,利用雙曲線的定義,得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),三角形的周長取得最小值,并求得最小的周長.

設(shè)左焦點(diǎn)為,根據(jù)雙曲線的定義可知,所以三角形的周長為,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,三角形的周長取得最小值. ,故三角形周長的最小值為.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的定義,考查三角形周長最小值的求法,屬于中檔題.

型】填空
結(jié)束】
16

【題目】已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作垂直與軸的直線交雙曲線于,兩點(diǎn),若為銳角三角形,則雙曲線的離心率的取值范圍是_______

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【題目】如圖,在三棱柱中,平面ABC,,E是BC的中點(diǎn),

求異面直線AE與所成的角的大。

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【題目】設(shè)函數(shù)的圖象為C,則下列結(jié)論中正確的是(

A.圖象C關(guān)于直線對稱

B.圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱

C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)

D.把函數(shù)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半(縱坐標(biāo)不變)可以得到圖象C

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【題目】某地區(qū)對12歲兒童瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查,瞬時(shí)記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力。某班學(xué)生共有40人,下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果。例如表中聽覺記憶能力為中等,且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人。

視覺

聽覺

視覺記憶能力

偏低

中等

偏高

超常

聽覺

記憶

能力

偏低

0

7

5

1

中等

1

8

3

b

偏高

2

a

0

1

超常

0

2

1

1

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè),視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為。

(1)試確定a,b的值;

(2)從40人中任意抽取3人,設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列。

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【題目】設(shè),關(guān)于的方程,給出下列四個(gè)命題,其中假命題的個(gè)數(shù)是(

①存在實(shí)數(shù),使得方程恰有個(gè)不同的實(shí)根;

②存在實(shí)數(shù),使得方程恰有個(gè)不同的實(shí)根;

③存在實(shí)數(shù),使得方程恰有個(gè)不同的實(shí)根;

④存在實(shí)數(shù),使得方程恰有個(gè)不同的實(shí)根.

A.B.C.D.

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【題目】給出下列四個(gè)命題:①若直線,那么直線必平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線;②一個(gè)長為,寬為的矩形,其直觀圖的面積為;③若函數(shù)的定義域是,則的定義域是;④定義在上的函數(shù),若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱.其中所有正確命題的編號為____________.

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2)設(shè) ,三棱錐的體積 ,求A到平面PBC的距離。

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【題目】中,角的對邊分別為,已知.

(1)求角;

(2)求的面積的最大值.

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