Question

10．已知a＞0，b＞0，函數(shù)f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值為1．
（1）求2a+b的值；
（2）若a+2b≥tab，求實數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析 （1）法一：根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出f（x）的最小值，從而求出2a+b的值即可；法二：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，從而求出答案；
（2）法一：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出t的最大值即可；法二：分離參數(shù)t，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出t的最大值即可．

解答 解：（1）法一：$f（x）=|{x+a}|+|{2x-b}|=|{x+a}|+|{x-\frac{2}}|+|{x-\frac{2}}|$，
∵$|{x+a}|+|{x-\frac{2}}|≥|{（{x+a}）-（{x-\frac{2}}）}|=a+\frac{2}$且$|{x-\frac{2}}|≥0$，
∴$f（x）≥a+\frac{2}$，當$x=\frac{2}$時取等號，即f（x）的最小值為$a+\frac{2}$，
∴$a+\frac{2}=1，2a+b=2$；
法二：∵$-a＜\frac{2}$，
∴$f（x）=|{x+a}|+|{2x-b}|=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-a+b，x＜-a}\\{-x+a+b，-a≤x＜\frac{2}}\\{3x+a-b，x≥\frac{2}}\end{array}}\right.$，
顯然f（x）在$（{-∞，\frac{2}}]$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為$f（{\frac{2}}）=a+\frac{2}$，∴$a+\frac{2}=1，2a+b=2$；
（2）法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴$\frac{a+2b}{ab}≥t$恒成立，
$\frac{a+2b}{ab}=\frac{1}+\frac{2}{a}=（{\frac{1}+\frac{2}{a}}）（{2a+b}）•\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（{1+4+\frac{2a}+\frac{2b}{c}}）≥\frac{1}{2}（{1+4+2\sqrt{\frac{2a}•\frac{2b}{a}}}）=\frac{9}{2}$，
當$a=b=\frac{2}{3}$時，$\frac{a+2b}{ab}$取得最小值$\frac{9}{2}$，∴$\frac{9}{2}≥t$，即實數(shù)t的最大值為$\frac{9}{2}$；
法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴$\frac{a+2b}{ab}≥t$恒成立，
$t≤\frac{a+2b}{ab}=\frac{1}+\frac{2}{a}$恒成立，$\frac{1}+\frac{2}{a}=\frac{1}+\frac{4}{2a}≥\frac{{{{（{1+2}）}^2}}}{b+2a}=\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}≥t$，即實數(shù)t的最大值為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式的性質(zhì)，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．