Question

1．設函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+a）x²+4ax+24a，其中常數a＞1．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若當x≥0時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），即可得出單調性．
（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．進而得出．

解答 解：（1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），
由a＞1知，當x＜2時，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（-∞，2）是增函數；
當2＜x＜2a時，f'（x）＜0，故f（x）在區(qū)間（2，2a）是減函數；
當x＞2a時，f'（x）＞0，故f（x）在區(qū)間（2a，+∞）是增函數．
綜上，當a＞1時，f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2a，+∞）是增函數，在區(qū)間（2，2a）是減函數．
（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值.$f（{2a}）=\frac{1}{3}{（{2a}）^3}-（{1+a}）{（{2a}）^2}+4a•2a+24a=-\frac{4}{3}{a^3}+4{a^2}+24a$，f（0）=24a，
由假設知$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{f（{2a}）≥0}\\{f（0）≥0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{-\frac{4}{3}a（{a+3}）（{a-6}）≥0}\\{24a≥0}\end{array}}\right.$，解得1＜a≤6，
故a的取值范圍是（1，6]．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、函數的單調性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．