Question

9．已知函數(shù)f（x）=（2-x）e^x-ax-a，若不等式f（x）＞0恰好存在兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{e^3}{4}，0）$．

Answer 1

分析 利用構(gòu)造的新函數(shù)g（x）和h（x），求導(dǎo)數(shù)g′（x），從而可得a的范圍．

解答 解：令g（x）=（2-x）e^x，h（x）=ax+a，
由題意知，存在2個(gè)正整數(shù)，使g（x）在直線h（x）的上方，
∵g′（x）=（1-x）e^x，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）_max=g（1）=e，
且g（0）=2，g（2）=0，g（3）=-e³，
直線h（x）恒過(guò)點(diǎn)（-1，0），且斜率為a，∴
由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{h（1）＜e}\\{h（2）＜0}\\{h（3）≤-{e}^{3}}\end{array}\right.$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[-\frac{e^3}{4}，0）$．
故答案為$[-\frac{e^3}{4}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．