已知函數(shù)f(x)=x+
2
x
的定義域為（0，+∞）．設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求證：|PM||PN|是定值；
（2）判斷并說明|PM|+|PN|有最大值還是最小值，并求出此最大值或最小值．
考點：點到直線的距離公式
專題：直線與圓
分析：（1）設點P的坐標為（x0，y0），由已知條件得到y0=x0+
2
x0
，由點到直線的距離公式分別求出|PM|，|PN|，由此能證明|PM||PN|為定值．
（2）由（1）結合題設條件，利用均值定理能求出）|PM|+|PN|有最小值2．
解答： 解：（1）證明：設點P的坐標為（x0，y0），
∵函數(shù)f(x)=x+
2
x
的定義域為（0，+∞）．設點P是函數(shù)圖象上的任意一點，
∴y0=x0+
2
x0
，x0＞0，…（2分）
由點到直線的距離公式知|PM|=
|x0-y0|
2
=
1
x0
，|PN|=x0，…（4分）
∴|PM||PN|=1，即|PM||PN|為定值，這個值為1．…（6分）
（2）|PM|+|PN|有最小值，且最小值為2．…（7分）
∵由（1）知|PM|＞0，|PN|＞0，|PM||PN|=1，…（8分）
∴|PM|+|PN|≥2
|PM||PN|
=2，…（10分）
當且僅當|PM|=|PN|=1，P點在P(1，1+
2
)時，
|PM|+|PN|有最小值2．…（12分）
點評：本題考查兩條線段的乘積為定值的證明，考查兩條線段和的最小值的求法，解題時要熟練掌握點到直線的距離公式和均值定理的靈活運用，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
-π
0
x2-1
(x＞0)
(x=0)
(x＜0)
，則f（f（-π））的值等于（　　）
A、π2-1或0
B、π2-1
C、0
D、-π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果直線L過點P（3，-1），且與直線x+2y=0垂直，則直線L的方程為（　�。�
A、x-2y-5=0
B、x+2y-5=0
C、2x-y-7=0
D、2x+y+7=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知三棱錐O-ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線EB與AC所成角的余弦值；
（2）求直線EB和平面ABC的所成角的正弦值．
（3）求點E到面ABC的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn+1=（k+1）Sn+2，又a1=2，a2=1．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知，如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在線段AD上，且PG=4，AG=
1
3
GD，BG⊥GC，BG=GC=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線GE與PC所成角的余弦值；
（2）求DG與平面PBG所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5（單位：μg/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重．PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關系如下表所示：
PM2.5日均濃度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250
空氣質(zhì)量類別 優(yōu) 良 輕度污染 中度污染 重度污染 嚴重污染
從甲城市2013年9月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖所示．
（1）試估計甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)；
（2）在甲城市這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個，設X為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）設函數(shù)F（x）=（-x2-2x-1）e-x，x∈R．求函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）證明函數(shù)f(x)=
∫
x
-x
(ex+e-x)dx在R上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y均為正實數(shù)，且
3
2+x
+
3
2+y
=1，則xy的最小值為
 
．

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