Question

如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EB與AC所成角的余弦值；
（2）求直線EB和平面ABC的所成角的正弦值．
（3）求點(diǎn)E到面ABC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1），利用計(jì)算cos＜

EB

，

AC

＞，可得異面直線EB與AC所成角的余弦值；
（2）求出平面ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線EB和平面ABC的所成角的正弦值．
（3）利用E點(diǎn)到面ABC的距離d=

| EC • n |

| n |

=

1

6

=

6

6

，即可求點(diǎn)E到面ABC的距離．

解答： 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴

EB

=（2，-1，0），

AC

=（0，2，-1）
∴cos＜

EB

，

AC

＞=

-2

5 • 5

=-

2

5

              …（4分）
∴異面直線EB與AC所成角的余弦值為

2

5

…（5分）
（2）設(shè)平面ABC的法向量為

n1

=（x，y，z），則

2x-z=0 2y-z=0

，∴可取

n1

=（1，1，2），…（7分）
∴cos＜

EB

，

n1

＞=

2-1+0

5 6

=

30

30

，…（8分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值為

30

30

…（9分）
（3）E點(diǎn)到面ABC的距離d=

| EC • n |

| n |

=

1

6

=

6

6

∴E點(diǎn)到面ABC的距離為

6

6

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查異面直線所成角，線面角，考查點(diǎn)到面的距離，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵．