Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；

（Ⅱ）見(jiàn)解析；

（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；

(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn).

（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>平面,所以；

因?yàn)榈酌?/span>是菱形，所以;

因?yàn)?/span>,平面,

所以平面.

（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌?/span>是菱形且，所以為正三角形，所以,

因?yàn)?/span>,所以；

因?yàn)?/span>平面，平面,

所以；

因?yàn)?/span>

所以平面，

平面,所以平面平面.

（Ⅲ）存在點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面；理由如下:

分別取的中點(diǎn)，連接,

在三角形中，且；

在菱形中，為中點(diǎn)，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;

又平面，平面，所以平面.