Question

16．已知p：?x∈（0，+∞），x²+1≥-mx恒成立，q：方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2m+8}$=1表示焦點在x軸上的橢圓，若命題“p且q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 若p為真，便可根據(jù)命題p得到$m≥-（x+\frac{1}{x}）$，而由基本不等式即可求出函數(shù)-（x+$\frac{1}{x}$）在（0，+∞）上的最大值為-2，從而得到m≥-2；而若q為真，由橢圓的標準方程即可求出m的范圍．而根據(jù)p且q為假知道該命題的對立面為p且q為真，從而求出p且q為真時的m的取值范圍，再對該范圍求在R上的補集即得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意：若p為真，則有$m≥-（x+\frac{1}{x}）$對x∈（0，+∞）恒成立；
$x+\frac{1}{x}≥2$，當x=1時取“=”；
∴$-（x+\frac{1}{x}）≤-2$；
∴m≥-2；
若q為真，則有m²＞2m+8＞0，即-4＜m＜-2或m＞4；
由p且q為假，則p，q中至少一個為假
而若p，q均為真，則m＞4；
∴p且q為假，實數(shù)m的取值范圍是（-∞，4]．

點評 考查基本不等式：a+b$≥2\sqrt{ab}$，a，b＞0的應用，橢圓的標準方程，并注意橢圓的焦點在x軸上的標準方程的特點，清楚p且q的真假和p，q真假的關系，注意本題不直接去求p且q為假時m的范圍，而去求p且q為真時的m的范圍的方法．