Question

在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；
（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；
（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；
（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和.

Answer 1

(1) 2¹⁰ (2) 1(3) 2⁹（4）（5）

設(shè)(2x-3y)¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰           (*)
各項(xiàng)系數(shù)和即為a₀+a₁+…+a₁₀,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₂+…+a₁₀,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉,x的偶次項(xiàng)系數(shù)和a₀+a₂+a₄+…+a₁₀.
由于（*）是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.
（1）二項(xiàng)式系數(shù)和為C+C+…+C=2¹⁰.
（2）令x=y=1,各項(xiàng)系數(shù)和為(2-3)¹⁰=(-1)¹⁰=1.
（3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C+C+…+C=2⁹,
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C+C+…+C=2⁹.
(4)設(shè)（2x-3y）¹⁰=a₀x¹⁰+a₁x⁹y+a₂x⁸y²+…+a₁₀y¹⁰
令x=y=1,得到a₀+a₁+a₂+…+a₁₀="1                                 " ①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1)
得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰                                        ②
①+②得2(a₀+a₂+…+a₁₀)=1+5¹⁰,
∴奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；
①-②得2(a₁+a₃+…+a₉)=1-5¹⁰,
∴偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.
（5）x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a₁+a₃+a₅+…+a₉=;
x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a₀+a₂+a₄+…+a₁₀=.