Question

4．已知O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}$=（2cosx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OB}$=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-1），若f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+2．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）當$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，若函數(shù)g（x）=f（x）+m有零點，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式和二倍角公式，化簡f（x），再根據(jù)對稱軸方程的定義即可求出，
（2）當$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，若函數(shù)g（x）=f（x）+m有零點，轉(zhuǎn)化為-m=f（x），求出f（x）的值域即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}=（2cosx，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{OB}=（sinx+\sqrt{3}cosx，-1）$，
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$+2=2cosxsinx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$+2=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+2=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2
∴對稱軸方程為2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
（2）∵當$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，函數(shù)g（x）=f（x）+m有零點，
∴-m=f（x）
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴f（x）∈（-$\sqrt{3}$+2，4]，
∴m∈[-4，$\sqrt{3}$-2）

點評 本題主要考查 了輔助角公式的應用，正弦函數(shù)的對稱軸的求解，方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，是一道綜合性比較好的試題．