Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知A，B，C成等差數(shù)列，△ABC的面積為

3

，
（1）求證：a，2，c，成等比數(shù)列；
（2）求△ABC的周長(zhǎng)L的最小值，并說(shuō)明此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）由A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，根據(jù)三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinB及已知面積代入求出ac的值為4，即可得證；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosB及ac的值代入，并利用基本不等式求出b的最小值，表示出周長(zhǎng)，即可求出三角形ABC周長(zhǎng)最小時(shí)三角形的形狀．

解答：解（1）證明：∵A、B、C成等差數(shù)列，∴B=60°，
又△ABC的面積為

3

，
∴

1

2

acsin60°=

3

，即ac=4，
∵ac=2²，
∴a、2、c成等比數(shù)列；
（2）在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得b²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=4，
∴b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，
∴△ABC的周長(zhǎng)L=a+b+c≥2

ac

+b=4+b，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，
∴L≥4+2=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立，
∴△ABC周長(zhǎng)的最小值為6，
∵a=c，B=60°，
∴此時(shí)△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，等差熟練的性質(zhì)，以及等比關(guān)系的確定，熟練性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．