Question

如圖，已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為

3

3

，M是AC的中點，則EM，DE所成角的余弦值等于

3

6

．

Answer 1

分析：設(shè)點C在平面ABDE內(nèi)的射影為O，取AB的中點H，連結(jié)CD、CE、CO、OH、CH，根據(jù)題意證出點O是正方開ABDE的中心，可得四棱錐C-ABDE是所有棱長均為2的正四棱錐，且∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角．利用向量的方法，算出

ED

•

EM

=1，得到

ED

、

EM

夾角的余弦值等于

3

6

，由此即得直線EM、DE所成角的余弦值．

解答：解：連結(jié)CD、CE，取AB的中點H，
設(shè)點C在平面ABDE內(nèi)的射影為O，連結(jié)CO、OH、CH
∵CH是等邊三角形ABC的中線，∴CH⊥AB
∵CO⊥平面ABDE，得OH是CH在平面ABDE內(nèi)的射影
∴OH⊥AB，得∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角
設(shè)AB=2，則等邊△ABC中，CH=

3

2

AB=

3

Rt△COH中，cos∠OHC=

OH

CH

=

3

3

，可得OH=

3

3

CH=1，
由此可得點O是正方開ABDE的中心，可得四棱錐C-ABDE是所有棱長均為2的正四棱錐
等邊△ACE中，

EM

=

1

2

（

EA

+

EC

）且|

EM

|=

3

∴

ED

•

EM

=

1

2

ED

•（

EA

+

EC

）=

1

2

ED

•

EA

+

1

2

ED

•

EC

∵∠DEA=90°，得

ED

•

EA

=0；∠DEC=60°，得

ED

•

EC

=|

ED

|•|

EC

|cos60°=2
∴

ED

•

EM

=

1

2

×0+

1

2

×2=1
可得cos＜

ED

，

EM

＞=

ED • EM

| ED |•| EM |

=

1

2× 3

=

3

6

由此結(jié)合兩條直線所成角的定義，可得直線EM、DE所成角的余弦值等于

3

6

．

點評：本題給出正方形所在平面與正三角形所在平面的二面角的大小，求兩條直線所成角的余弦值，著重考查了二面角的平面角的定義與求法、正四棱錐的定義與性質(zhì)和運用向量的方法求兩條直線所成角等知識，屬于中檔題．