Question

如圖，已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C-AB-D的余弦值為，M是AC的中點(diǎn)，則EM，DE所成角的余弦值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影為O，取AB的中點(diǎn)H，連結(jié)CD、CE、CO、OH、CH，根據(jù)題意證出點(diǎn)O是正方開ABDE的中心，可得四棱錐C-ABDE是所有棱長均為2的正四棱錐，且∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角．利用向量的方法，算出•=1，得到、夾角的余弦值等于，由此即得直線EM、DE所成角的余弦值．
解答：解：連結(jié)CD、CE，取AB的中點(diǎn)H，
設(shè)點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影為O，連結(jié)CO、OH、CH
∵CH是等邊三角形ABC的中線，∴CH⊥AB
∵CO⊥平面ABDE，得OH是CH在平面ABDE內(nèi)的射影
∴OH⊥AB，得∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角
設(shè)AB=2，則等邊△ABC中，CH=AB=
Rt△COH中，cos∠OHC==，可得OH=CH=1，
由此可得點(diǎn)O是正方開ABDE的中心，可得四棱錐C-ABDE是所有棱長均為2的正四棱錐
等邊△ACE中，=（）且||=
∴•=•（）=•+•
∵∠DEA=90°，得•=0；∠DEC=60°，得•=||•||cos60°=2
∴•=×0+×2=1
可得cos＜，＞===
由此結(jié)合兩條直線所成角的定義，可得直線EM、DE所成角的余弦值等于．
點(diǎn)評：本題給出正方形所在平面與正三角形所在平面的二面角的大小，求兩條直線所成角的余弦值，著重考查了二面角的平面角的定義與求法、正四棱錐的定義與性質(zhì)和運(yùn)用向量的方法求兩條直線所成角等知識，屬于中檔題．