Question

10．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=1，雙曲線$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{n^2}$=1，（其中m＞n＞0）的離心率分別為e₁，e₂，則（　�。�

• A． e₁•e₂＞1
• B． e₁•e₂＜1
• C． e₁•e₂=1
• D． e₁•e₂與1大小不確定

Answer 1

分析 由橢圓方程與雙曲線方程分別求出橢圓與雙曲線的離心率，作積后結(jié)合m＞n得答案．

解答 解：在橢圓$\frac{x^2}{m^2}$+$\frac{y^2}{n^2}$=1中，${c}_{1}=\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}$，
∴${e}_{1}=\frac{{c}_{1}}{m}=\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}$，
在雙曲線$\frac{x^2}{m^2}$-$\frac{y^2}{n^2}$=1中，${c}_{2}=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
∴${e}_{2}=\frac{{c}_{2}}{m}=\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m}$，
∴${e}_{1}•{e}_{2}=\frac{\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}}{m}•\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m}$=$\sqrt{\frac{{m}^{4}-{n}^{4}}{{m}^{4}}}=\sqrt{1-（\frac{n}{m}）^{4}}＜1$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查圓錐曲線離心率的求法，是基礎(chǔ)題．