Question

7．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為即a≥$\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，x∈（0，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=lnx-2ax+1，
若f（x）在（0，+∞）遞減，
則lnx-2ax+1≤0在（0，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{lnx+1}{2x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=-$\frac{lnx}{{2x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
故g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$，
故a≥$\frac{1}{2}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．