Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，（x＞0），若對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是為$（-\frac{37}{3}，-9）$．

Answer 1

分析 通過(guò)求導(dǎo)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出不等式組，從而確定m的取值范圍．

解答 解：f（x）=x³+（$\frac{m}{2}$+2）x²-2x，
∴f′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵f（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且f′（0）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（t）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，
由題意得：對(duì)于任意的t∈[1，2]，f′（t）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）＜0}\\{f′（2）＜0}\\{f′（3）＞0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{37}{3}$＜m＜-9，
故答案為：$（-\frac{37}{3}，-9）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了求導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．