Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項和，并且S_n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=

an

2n

，求證：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出b_n=a_n+1-2a_n的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項公式，根據(jù)等差數(shù)列的定義進行證明即可．

解答： 證明：（1）∵S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，
兩式相減，得：S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
即：a_n+2=4a_n+1-4a_n，
變形得：a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵b_n=a_n+1-2a_n，即b_n+1=2b_n；
∵a₁+a₂=4a₁+2，即a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）∵cn=

an

2n

，
∴cn+1-cn=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

bn

2n+1

．
∵bn=3•2n-1代入得：cn+1-cn=

3

4

(n=1，2，…)，
∴數(shù)列{c_n}是以

1

2

為首項，

3

4

為公差的等差數(shù)列．

點評：本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的證明，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．