Question

已知函數(shù)f﹙x﹚=log_a（1+x），g﹙x﹚=log_a﹙x-1﹚﹙a＞0且a≠1﹚．
①求函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域；
②判斷函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的奇偶性并說明理由；
③求使f﹙x﹚-g（2x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①要使函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義，需

x+1＞0 x-1＞0

，由此求得函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域．
②根據(jù)函數(shù)F（x）的定義域不關(guān)于原點對稱，可得函數(shù)F（x）是非奇非偶函數(shù)．
③要解的不等式即log_a（1+x）＞log_a（2x-1），分當a＞1時 和當 0＜a＜1時兩種情況，分別利用對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性求得不等式的解集．

解答： 解：①∵函數(shù)f﹙x﹚=log_a（1+x），g﹙x﹚=log_a﹙x-1﹚，
要使函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚有意義，需

x+1＞0 x-1＞0

，解得x＞1，
故函數(shù)f﹙x﹚+g﹙x﹚的定義域為（1，+∞）．
②令F（x）=f﹙x﹚+g﹙x﹚，則由①可得函數(shù)F（x）的定義域為（1，+∞），
不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)F（x）是非奇非偶函數(shù)．
③由f﹙x﹚-g（2x）＞0可得 log_a（1+x）＞log_a（2x-1），
當a＞1時，不等式化為1+x＞2x-1＞0，解得

1

2

＜x＜2，故不等式的解集為（

1

2

，2）；
當 0＜a＜1時，不等式化為2x-1＞x+1＞0，解得 x＞2，故不等式的解集為（2，+∞）．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．