Question

表面積為12π的圓柱，當(dāng)其體積最大時(shí)，該圓柱的底面半徑與高的比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)圓柱的高為h、底面半徑為r，根據(jù)圓柱的表面積S=12π，可得h=6-r²，構(gòu)造V關(guān)于r的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)想最值，并求V取到最大值時(shí)rh的值，可得答案．

解答： 解：設(shè)圓柱的高為h、底面半徑為r，
則圓柱的表面積S=2πr²+2πrh=12π，即r²+rh=6⇒rh=6-r²，
∴V=πr²h=πr（6-r²）=π（6r-r³），
V′=π（6-3r²）=0⇒r=

2

，
∴函數(shù)V=πr²h=πr（6-r²）=π（6r-r³），在區(qū)間（0，

2

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

2

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴r=

2

時(shí)，V最大，h=6-2=4，
∴

r

h

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓柱的表面積公式與體積公式，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及利用函數(shù)思想求最值，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解答本題的關(guān)鍵，一元三次函數(shù)求最值常用導(dǎo)數(shù)法．