Question

18．平面α、β、γ兩兩互相垂直，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)A到β、γ的距離都是3，P是α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，P到β的距離是到點(diǎn)A距離的2倍，則點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到γ的距離的最小值是（　�。�

• A． 3-$\sqrt{3}$
• B． 3+$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)P到β的距離是到點(diǎn)A距離的2倍，即P到兩個(gè)面的交線的距離是到點(diǎn)A距離的2倍，得到P的軌跡是以A為焦點(diǎn)的橢圓，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到短軸的長(zhǎng)度，得到結(jié)果．

解答 解：由題意知，P到β的距離是到點(diǎn)A距離的2倍，
即P到兩個(gè)面的交線的距離是到點(diǎn)A距離的2倍，
∴P的軌跡是以A為焦點(diǎn)的橢圓，離心率是$\frac{1}{2}$．
當(dāng)點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到γ的距離的最小時(shí)，點(diǎn)應(yīng)該在短軸的端點(diǎn)處，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b=$\sqrt{3}$
∴點(diǎn)P的軌跡上的點(diǎn)到γ的距離的最小值是3-$\sqrt{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)線面之間的距離的計(jì)算，考查點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的離心率，a，b，c之間的關(guān)系，是一個(gè)綜合題目．