Question

8．拋物線x²=6y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FMN為等邊三角形時(shí)，則△FNM的外接圓的方程為（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=12．

Answer 1

分析 利用拋物線的定義得出MN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)N（n，-$\frac{3}{2}$），則M（n，$\frac{9}{2}$），代入拋物線方程求出N，M的坐標(biāo)，得到外心的坐標(biāo)，△FMN的外接圓的半徑，從而求出其方程．

解答 解：據(jù)題意知，△FMN為等邊三角形，MF=MN，
由拋物線的定義可得，NM垂直于拋物線的準(zhǔn)線，
又拋物線x²=6y的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{3}{2}$），準(zhǔn)線為y=-$\frac{3}{2}$，
設(shè)N（n，-$\frac{3}{2}$），則M（n，$\frac{9}{2}$），由n²=27，解得n=3$\sqrt{3}$，
則N（3$\sqrt{3}$，-$\frac{3}{2}$），M（3$\sqrt{3}$，$\frac{9}{2}$），又F（0，$\frac{3}{2}$），
由等邊三角形的外心即為重心，
則外心的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+0}{3}$，$\frac{-\frac{3}{2}+\frac{9}{2}+\frac{3}{2}}{3}$），
即為（2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$）．
則△FMN的外接圓的半徑為2$\sqrt{3}$，
∴則△FMN的外接圓的方程為（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=12．
故答案為：（x-2$\sqrt{3}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的定義、方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，圓的方程的求法，三角形的外心的概念，考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識(shí)和基本的運(yùn)算能力．