Question

已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F₁關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)。

（1）證明：；

（2）確定的值，使得是等腰三角形。

Answer 1

（1）證法1：因?yàn)锳、B分別是直線l：y=ex+a與x軸y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是

由得，這里

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是

由得，

即，解得．

證法2：因?yàn)锳、B分別是直線l：y=ex+a與x軸y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是

設(shè)M的坐標(biāo)為，由得，

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以，

即，所以，

即，

解得，即

（2）因?yàn)?sub>，

所以為鈍角，

要使為等腰三角形，必有，即

設(shè)點(diǎn)到l的距離為d，由

得

所以，于是

即當(dāng)，為等腰三角形．

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是運(yùn)算量較大