(2012•衡陽(yáng)模擬)已知△ABC的面積為2
3
,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,
AB
AC
=4.
(1)求角A;
(2)求
b+c
2a
的最大值.
分析:(1)利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積,將已知的面積代入得到一個(gè)關(guān)系式,記作①,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)
AB
AC
=4,得到另一個(gè)關(guān)系式,記作②,①÷②,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切,求出tanA的值,由A為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù);
(2)法1:由A的度數(shù),求出B+C的度數(shù),用B表示出C,利用正弦定理化簡(jiǎn)所求的式子,將sinA的值代入,并將表示出的C代入,整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由B的范圍求出這個(gè)角的范圍,利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出正弦函數(shù)的最大值,即為所求式子的最大值;
法2:由A的度數(shù)得出cosA的值,利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccosA,將cosA的值代入并利用完全平方公式變形,再利用基本不等式化簡(jiǎn),變形后求出所求式子的范圍,即可得到所求式子的最大值.
解答:解:(1)∵△ABC的面積為2
3
,
AB
AC
=4,
1
2
bcsinA=2
3
①,bccosA=4②,
①÷②得:tanA=
3
,
又A為三角形的內(nèi)角,
則A=
π
3

(2)法1:∵A=
π
3
,∴B+C=
3
,即C=
3
-B,
∴根據(jù)正弦定理得:
b+c
2a
=
sinB+sinC
2sinA
=
sinB+sinC
3
=
3
3
[sinB+sin(
3
-B)]
=
3
3
3
2
cosB+
3
2
sinB)=sin(B+
π
6
),
∵0<B<
3
,∴
π
6
<B+
π
6
6
,
∴當(dāng)B+
π
6
=
π
2
,即B=
π
3
時(shí),sin(B+
π
6
)取得最大值1,
b+c
2a
的最大值是1;
法2:∵cosA=
1
2
,
∴由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3(
b+c
2
2=
1
4
(b+c)2
整理得:(
b+c
4a
2≤1,即
b+c
4a
≤1,
則當(dāng)b=c時(shí),
b+c
4a
最大值是1.
點(diǎn)評(píng):此題屬于解三角形的題型,涉及的知識(shí)有:正弦、余弦定理,三角形的面積公式,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,三角函數(shù)的恒等變形,以及基本不等式的運(yùn)用,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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