Question

7．如圖，雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．且|OA|+|OB|=2|AB|．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）利用極限方程，通過|OA|+|OB|=2|AB|轉(zhuǎn)化求出$|{OA}|=\frac{3}{5}|{OB}|$，推出$2{（\frac{a}{c}）^2}-1=\frac{3}{5}$，解得離心率．
（2）通過$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，可設(shè)a=2t（t＞0），雙曲線方程表示為$\frac{x^2}{{4{t^2}}}-\frac{y^2}{t^2}=1$；聯(lián)立直線AB方程與雙曲線方程，利用弦長公式求解即可．

解答 解：（1）由題意，得F（c，0），l₁的方程為bx-ay=0，∴$|{FA}|=\frac{bc}{{\sqrt{{b^2}+{{（-a）}^2}}}}=b$，從而|OA|=a；
由|OA|+|OB|=2|AB|得：$|{AB}|=\frac{1}{2}（|{OA}|+|{OB}|）$，聯(lián)立|OA|²+|AB|²=|OB|²，得5|OA|²+2|OA|•|OB|-3|OB|²=0，解得$|{OA}|=\frac{3}{5}|{OB}|$，所以$cos∠AOB=\frac{{|{OA}|}}{{|{OB}|}}=\frac{3}{5}$
∵cos∠AOB=cos2∠AOF=2cos²∠AOF-1，∴$2{（\frac{a}{c}）^2}-1=\frac{3}{5}$，解得離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$…（6分）
（2）由（1）$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，可設(shè)a=2t（t＞0），則$c=\sqrt{5}t$，從而b=t，因此雙曲線方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$可表示為$\frac{x^2}{{4{t^2}}}-\frac{y^2}{t^2}=1$；過F的直線AB方程為$y=-2（x-\sqrt{5}t）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{{4{t^2}}}-\frac{y^2}{t^2}=1\\ y=-2（x-\sqrt{5}t）\end{array}\right.$，整理得：$15{x^2}-32\sqrt{5}tx+84{t^2}=0$，由韋達(dá)定理得：${x_1}+{x_2}=\frac{{32\sqrt{5}}}{15}t$，${x_1}•{x_2}=\frac{28}{5}{t^2}$，由題設(shè)得$4=\sqrt{[{1+{{（-2）}^2}}][{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}=\frac{4}{3}t$，解得t=3，故所求的雙曲線方程為$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$．…（12分）

點評 本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的離心率以及弦長公式的求法，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．