Question

17．給出下列命題：
①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；
②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；
④一個(gè)棱錐可以有兩條側(cè)棱和底面垂直；
⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直；
⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體．
其中正確命題的序號(hào)是①⑤．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正方體中取對(duì)應(yīng)的對(duì)角線構(gòu)成的四面體是正四面體．
②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐；
③當(dāng)有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面時(shí)，該四棱柱不一定為直四棱柱；
④一個(gè)棱錐不能有兩條側(cè)棱和底面垂直；
⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直；
⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱不一定是正方體．

解答 解：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)正確，如圖四面體B₁-ACD₁是正四面體
；
②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，
如圖所示，
若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱錐V-ABC表示正三棱錐，∴②錯(cuò)誤；
③當(dāng)有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面時(shí)，該四棱柱不一定為直四棱柱，
如兩個(gè)側(cè)面不是相鄰的時(shí)，側(cè)棱與底面不一定垂直，∴③錯(cuò)誤；
④一個(gè)棱錐不能有兩條側(cè)棱和底面垂直，否則，這兩條側(cè)棱互相平行，∴④錯(cuò)誤；
⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直，如②中圖形，∴⑤正確；
⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱不一定是正方體，
∵各相鄰側(cè)面并不一定都互相垂直，∴⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①⑤

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間中的柱、錐、體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行分析判斷，是綜合題目．