Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+2a-1在[1，2]上的最小值為t，若t≤1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)討論a的取值，確定函數(shù)在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a）．

解答 解：a=0，可得f（x）=-x-1在[1，2]上的最小值t=-3＜1成立；
a＜0，函數(shù)f（x）=ax²-x+2a-1在[1，2]上單調(diào)遞減，t=f（2）=6a-3＜1成立；
a＞0，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax²-x+2a-1=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+2a-$\frac{1}{4a}$-1，對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2a}$，
當(dāng)0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，t=f（1）=3a-2≤1，∴a≤1，∴$\frac{1}{2}$＜a≤1；
當(dāng)1≤$\frac{1}{2a}$≤2，即$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，t=f（$\frac{1}{2a}$）=2a-$\frac{1}{4a}$-1≤1，符合題意；
當(dāng)$\frac{1}{2a}$＞2，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，t=f（2）=6a-3≤1，∴a≤$\frac{2}{3}$，∴0＜a＜$\frac{1}{4}$．
綜上可得a≤1．
故答案為：a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)的判斷和應(yīng)用，正確分類討論是關(guān)鍵．