Question

19．設(shè)有半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發(fā)，A向東，而B向北直進，A出村后不久，改變前進方向，斜著沿切于村落周界的方向前進，后來恰好與B相遇，設(shè)A、B兩人的速度都一定，其比為3：1，問A、B兩人在何處相遇？

Answer 1

分析 先根據(jù)題意，以村落中心為坐標原點，向東的方向為x軸建立直角坐標系，根據(jù)兩人的速度關(guān)系設(shè)其速度及各點，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用圖形中的直角三角形得到5x₀=4y₀，代入直線的斜率公式可得直線的斜率，再利用直線與圓相切即可的直線方程，也就得到了該問題的解．

解答 解：如圖，建立平面直角坐標系，由題意可設(shè)A、B兩人速度分別為3v千米/小時，
v千米/小時，再設(shè)出發(fā)x₀小時，在點P改變方向，又經(jīng)過y₀小時，在點Q處與B相遇．
則P、Q兩點坐標為（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，
（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀①
將①代入k_PQ=-$\frac{{x}_{0}+{y}_{0}}{3{x}_{0}}$=-$\frac{3}{4}$．
又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置．
設(shè)直線y=-$\frac{3}{4}$x+b與圓O：x²+y²=9相切，
則有$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=3，b=$\frac{15}{4}$
答：A、B相遇點在離村中心正北$\frac{15}{4}$千米處．

點評 本題考查了圓的方程的綜合應(yīng)用，在這個題中注意解決實際問題的基本步驟，及題目條件的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，是個中檔題．