【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,是橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn),且是面積為的等腰直角三角形.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)已知直線與橢圓交于不同的,兩點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn),使得四邊形恰好為平行四邊形,求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.

【答案】12

【解析】

1)根據(jù)等腰直角三角形可得,然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)由題意可設(shè),,聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理和四邊形恰好為平行四邊形可得點(diǎn)的坐標(biāo),將其代入橢圓方程可得,再利用面積公式和基本不等式可得最小值.

1)由已知得,設(shè).

是面積為1的等腰直角三角形,

∴橢圓E的方程為

2)由題意可設(shè),.

聯(lián)立整理得,則.

根據(jù)韋達(dá)定理得

因?yàn)樗倪呅?/span>恰好為平行四邊形,所以.

所以,

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上,所以

整理得,即

在直線l中,由于直線與坐標(biāo)軸圍成三角形,則,.

,得,令,得.

所以三角形面積為

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),此時(shí).

所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行,求a的值;

(Ⅱ)若處取得極大值,求a的取值范圍;

(Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.(只需寫出結(jié)論)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,上頂點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且.

(1)求橢圓的方程;

(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn),試在軸上求一點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí),.

1)求拋物線C的方程.

2)點(diǎn),證明:直線PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分,分值高者為優(yōu)),繪制了如圖1所示的六維能力雷達(dá)圖,例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4,乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5,則下面敘述正確的是( )

A. 乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力

B. 甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值

C. 乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平

D. 甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓過(guò)點(diǎn),焦點(diǎn),圓的直徑為

(1)求橢圓及圓的方程;

(2)設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn).若的面積為,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足為常數(shù),,,),給出下列四個(gè)結(jié)論:①若數(shù)列是周期數(shù)列,則周期必為2:②若,則數(shù)列必是常數(shù)列:③若,則數(shù)列是遞增數(shù)列:④若,則數(shù)列是有窮數(shù)列,其中,所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過(guò)搜索引擎,以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計(jì)指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大,表示網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多,對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.下圖是2017年9月到2018年2月這半年中,某個(gè)關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢(shì)圖.

根據(jù)該走勢(shì)圖下列結(jié)論正確的是( )

A. 這半年中,網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度呈周期性變化

B. 這半年中,網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度不斷減弱

C. 從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看,去年10月份的方差小于11月份的方差

D. 從網(wǎng)民對(duì)該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來(lái)看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)且斜率為的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),軸的上方,且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線上異于的點(diǎn),直線分別交拋物線的準(zhǔn)線于,兩點(diǎn),軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,求證:為定值,并求出定值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案