Question

已知函數(shù)f（x）=|

3

2

-x|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤

5

2

的解集；
（Ⅱ）如果存在x∈[-2，4]，使不等式f（x）+f（x+2）≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）不等式即|x-

3

2

|≤

5

2

，即-

5

2

≤x-

3

2

≤

5

2

，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（x+2）=|x-

3

2

|+|x+

1

2

|=

1-2x ， x≤- 1 2 2  ， - 1 2 ＜x≤ 3 2 2x-1  ，x＞ 3 2

，分類討論求得g（x）在[-2，4]上的最大值，即可得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤

5

2

，即|x-

3

2

|≤

5

2

，即-

5

2

≤x-

3

2

≤

5

2

，求得-1≤x≤4，
故不等式的解集為[-1，4]．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（x+2）=|x-

3

2

|+|x+

1

2

|=

1-2x ， x≤- 1 2 2  ， - 1 2 ＜x≤ 3 2 2x-1  ，x＞ 3 2

．
由題意可得g（x）在[-2，4]上的最大值大于或等于m．
當x∈[-2，-

1

2

]時，g（x）為減函數(shù)，故g（x）≤g（-2）=5．
當x∈[-

1

2

 4]時，g（x）的最大值為g（4）=7，故 g（x）在∈[-2，4]上的最大值為7，由題意可得m≤7，
即m的范圍是（-∞，7]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，帶由絕對值的函數(shù)，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．