Question

△ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且2acosC=2b-c．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）如果a=1，求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：

分析：（Ⅰ）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，化簡方程，即可求角A的余弦值，得到A的值；
（Ⅱ）利用正弦定理區(qū)別b，c的值，b+c為B的正弦函數(shù)，通過三角函數(shù)值域，求出b+c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．∴

1

2

sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
角A的大小為：

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理可得：b=

asinB

sinA

=

2sinB

3

，c=

2

3

sinC，
∴b+c=

2

3

(sinB+sinC)=

2

3

[sinB+sin(A+B)]=2(

3

2

sinB+

1

2

cosB)=2sin(B+

π

6

)，
∵A=

π

3

∴B∈(0，

2π

3

)，
∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
∴b+c的取值范圍：（1，2]．

點評：本題考查正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的值域的應(yīng)用．