Question

9．已知a＞0，且a≠1，f（x）=1-$\frac{2}{1+{a}^{x}}$，x∈R．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求不等式f（x）＞f（-x）的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）要解的不等式即f（x）＞0，又f（0）=1，分類討論，根據(jù)f（x）的單調(diào)性，求得不等式的解集．

解答 解：（1）∵a＞0，且a≠1，f（x）=1-$\frac{2}{1+{a}^{x}}$=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$ 的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-1}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1{-a}^{x}}{1{+a}^{x}}$=-f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）不等式f（x）＞f（-x），即f（x）＞-f（x），即 f（x）＞0．
又f（0）=1，
故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，故不等式f（x）＞0的解集為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）為減函數(shù)，故不等式f（x）＞0的解集為（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷以及奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．