20．以圓錐曲線的焦點弦AB為直徑作圓，與相應(yīng)準(zhǔn)線l有兩個不同的交點，求證：
①這圓錐曲線一定是雙曲線；
②對于同一雙曲線，l截得圓弧的度數(shù)為定值．

分析 ①Q(mào)H⊥ST，|AB|＞2|QH|，2|QH|=|AA1|+|BB1|=$\frac{AF}{e}$+$\frac{BF}{e}$=$\frac{AB}{e}$，可得e＞1，這圓錐曲線一定是雙曲線；
②對于同一雙曲線，cos∠SQH=$\frac{QH}{QS}$=$\frac{2QH}{2QF}$=$\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{e}$為定值，即可證明l截得圓弧的度數(shù)為定值．

解答 證明：①如圖：QH⊥ST，|AB|＞2|QH|，
2|QH|=|AA1|+|BB1|=$\frac{AF}{e}$+$\frac{BF}{e}$=$\frac{AB}{e}$，
所以e＞1，
所以圓錐曲線為雙曲線．
②cos∠SQH=$\frac{QH}{QS}$=$\frac{2QH}{2QF}$=$\frac{A{A}_{1}+B{B}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{e}$為定值，
所以弧ST的度數(shù)為定值．

點評 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

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