Question

18．如果對任意實數x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2．
（1）求f（2），f（3），f（4）的值；
（2）求$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+$\frac{f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法即可求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）令y=1，得$\frac{f（x+1）}{f（x）}=2$，即可求$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（3）}{f（2）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$的值．

解答 解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=2×2=4、
f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=2×4=8、
f（4）=f（2+2）=f（2）f（2）=4×4=16．
（2）令y=1，則f（x+1）=f（x）•f（1）=2f（x），
即$\frac{f（x+1）}{f（x）}=2$，
則$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（3）}{f（2）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2+2+…+2=2×2015=4030．

點評 本題主要考查函數值的計算，利用賦值法是解決抽象函數的常用方法．