Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα+1}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，t＞0），曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}s+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}s-1}\end{array}\right.$（s為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₃：ρcosθ-ρsinθ=2，記曲線C₂與C₃的交點(diǎn)為P．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)曲線C₁與C₃有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，C₁與C₂相交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}s+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}s-1}\end{array}\right.$（s為參數(shù)），消去參數(shù)s可得普通方程．曲線C₃：ρcosθ-ρsinθ=2，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直角坐標(biāo)方程．
（II）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα+1}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，t＞0），消去參數(shù)α可得普通方程，由曲線C₁與C₃有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用圓心到直線的距離等于半徑解得t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．設(shè)A（x₁，-x₁），B（x₂，-x₂）．曲線C₁與直線C₂聯(lián)立化為4x²+4x-7=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答 解：（I）曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}s+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}s-1}\end{array}\right.$（s為參數(shù)），消去參數(shù)s可得普通方程：x+y=0．
曲線C₃：ρcosθ-ρsinθ=2，可得直角坐標(biāo)方程：x-y-2=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得交點(diǎn)P（1，-1）．
（II）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα+1}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，t＞0），消去參數(shù)α可得普通方程：x²+（y-1）²=t²，可得圓心C₁（0，1），半徑r=t．
∵曲線C₁與C₃有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴$\frac{|0-1-2|}{\sqrt{2}}$=t，解得t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
設(shè)A（x₁，-x₁），B（x₂，-x₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{{x}^{2}+（y-1）^{2}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，化為4x²+4x-7=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=-$\frac{7}{4}$．
∴|PA|²+|PB|²=$（{x}_{1}-1）^{2}$×2+$（{x}_{2}-1）^{2}$×2=$2（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）$-4（x₁+x₂）+4=$2（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁x₂-4（x₁+x₂）+4=2×（-1）²-4×（-1）-4×$（-\frac{7}{4}）$+4=17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相切的充要條件、直線與圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．