分析 (1)由圓的弦切角定理和內(nèi)角平分線的性質(zhì),可得∠DAE=∠ADE,即可得證;
(2)由對(duì)應(yīng)角相等,可得△ABE∽△CAE,由相似三角形的性質(zhì)和內(nèi)角平分線定理,可得DB•DE=DC•BE,代入計(jì)算即可得到所求值.
解答 解:(1)證明:∠ADE=∠ABD+∠BAD,∠DAE=∠DAC+∠EAC,
由AE為△ABC的外接圓的切線,
由弦切角定理可得∠ABD=∠EAC,①
由AD為∠BAC的平分線,
可得∠BAD=∠DAC,②
①②相加可得∠DAE=∠ADE,
則EA=ED.
(2)∵$\left\{\begin{array}{l}∠ABE=∠CAE,\;\;\\∠AEB=∠CEA,\;\;\end{array}\right.$
∴△ABE∽△CAE,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{AE}$,
又∵$\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$,∴$\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{AE}$,
即DB•AE=DC•BE,
由(1)知EA=ED,∴DB•DE=DC•BE.
根據(jù)已知條件AE=2BD=2.
可得BD=1,EA=ED=2,
所以DB•DE=DC•BE=2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),考查圓的弦切角定理、三角形的內(nèi)角平分線定理的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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