Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos{φ}_{1}}\\{y=\sqrt{3}sin{φ}_{1}}\end{array}\right.$（φ₁是參數(shù)），圓C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{2}}\\{y=1+sin{φ}_{2}}\end{array}\right.$（φ₂是參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（I）求圓C₁，圓C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）射線θ=α（ 0≤α＜2π）同時(shí)與圓C₁交于O，M兩點(diǎn)，與圓C₂交于O，N兩點(diǎn)，求|OM|+|ON|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)基本關(guān)系式的平方關(guān)系可把圓的參數(shù)方程化為普通方程，再利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）θ=α?xí)r，極坐標(biāo)$M（2\sqrt{3}cosα，α）$，N（2sinα，α），利用和差公式及其三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由圓C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos{φ}_{1}}\\{y=\sqrt{3}sin{φ}_{1}}\end{array}\right.$（φ₁是參數(shù)），圓C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{2}}\\{y=1+sin{φ}_{2}}\end{array}\right.$（φ₂是參數(shù)），
可得：圓${C_1}：{（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$，圓${C_2}：{x^2}+{（y-1）^2}=1$．
分別可得極坐標(biāo)方程：圓${C_1}：ρ=2\sqrt{3}cosθ$，圓C₂：ρ=2sinθ．
（Ⅱ）θ=α?xí)r，極坐標(biāo)$M（2\sqrt{3}cosα，α）$，N（2sinα，α）．
∴$|{OM}|+|{ON}|=2\sqrt{3}cosα+2sinα$=$4sin（α+\frac{π}{3}）$，
∵$\frac{π}{3}≤α+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$，∴當(dāng)$α+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}，α=\frac{π}{6}$時(shí)，|OM|+|ON|取得最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)、和差公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．