【題目】已知圓和點(diǎn),動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切,圓心的軌跡為曲線

(1)求曲線的方程;

(2)點(diǎn)是曲線軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)在曲線上,若直線的斜率滿足面積的最大值.

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1)利用圓與圓的位置關(guān)系,得出曲線為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,即可求曲線的方程;(2)聯(lián)立方程組,得,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,得出直線過(guò)定點(diǎn),表示出面積,即可,求面積的最大值.

試題解析:(1)圓的圓心為,半徑為,點(diǎn)在圓內(nèi),因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切,所以動(dòng)圓與圓內(nèi)切.設(shè)動(dòng)圓半徑為,則.因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以 ,所以曲線為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.由.得,所以曲線的方程為

(2)直線斜率為0時(shí),不合題意,設(shè),直線,

聯(lián)立方程組,得,

,知

代入得

,化簡(jiǎn)得,

解得,故直線過(guò)定點(diǎn),由,解得

,

(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),綜上, 面積的最大值為

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程和最值問(wèn)題,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形面積最大值的.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)證明:函數(shù)上單調(diào)遞增;

(Ⅱ)若, ,求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若, ,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若,且方程內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).若時(shí)方程有兩 個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________;若的值域?yàn)?/span>,則實(shí)數(shù)

取值范圍是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(2015·廣東卷)若直線l1l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是(  )

A. ll1,l2都不相交

B. ll1,l2都相交

C. l至多與l1,l2中的一條相交

D. l至少與l1,l2中的一條相交

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的中心是原點(diǎn),離心率為雙曲線離心率的一半,直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.直線 軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩個(gè)相異點(diǎn),且.

(1)求橢圓的方程;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下列命題正確的是__________.(寫出所有正確命題的序號(hào))

①已知,“”是“”的充要條件;

②已知平面向量,“”是“”的必要不充分條件;

③已知,“”是“”的充分不必要條件;

④命題:“,使”的否定為:“,都有

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)若在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立且有唯一零點(diǎn),若存在,求出滿足 的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)于任意的都有設(shè)時(shí), .

1)求

2)證明:對(duì)于任意的,

3)當(dāng)時(shí),若不等式上恒定成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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