Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數）．以O為極點，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標系．
（Ⅰ）寫出C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1經伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=y}\end{array}\right.$后得到曲線C₃，射線θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）分別與C₁和C₃交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，消去參數，即可解得方程C₁的極坐標方程；
（Ⅱ）求得C₃的方程，即可由OA，OB的長解得AB的長．

解答 解：（Ⅰ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數）．消去參數α，化為普通方程為（x-2）²+y²=4，
即C₁：x²+y²-4x=0，（2分）
將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入C₁：x²+y²-4x=0，得ρ²=4ρcosθ，（4分）
所以C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$代入C₂得x′²+y^′2=1，
所以C₃的方程為x²+y²=1．（7分）
C₃的極坐標方程為ρ=1，所以|OB=1|．
又|OA|=4cos$\frac{π}{3}$=2，
所以|AB|=|OA|-|OB|=1．（10分）

點評 本小題考查極坐標方程和參數方程、伸縮變換等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想等．