Question

12．如圖（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AB和CD的中點(diǎn)，且AB=EF=2，CD=4，M為CE中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF所在直線折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如圖（2）所示，N是CD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）求二面角M-NA-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接ED，MN∥ED，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：MN∥平面ADFE；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-NA-F的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連接ED，MN∥ED，
又MN?平面EFDA，ED?平面EFDA
所以MN∥平面EFDA
（Ⅱ）由題意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF?平面EFCB
所以CF⊥平面EFDA，
以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)E方向?yàn)閤軸，F(xiàn)D方向?yàn)閥軸，F(xiàn)C方向?yàn)閆軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
由題意F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，1），N（0，1，1），A（2，1，0），
設(shè)平面AMN的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{AM}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{AN}$=（-2，0，1），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AM}$=-x-y+z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AN}$=-2x+z=0，
令x=1，則z=2，y=1，即平面AMN的法向量為，$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
同理得平面AFN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2），
設(shè)所求的二面角為θ
則|cosθ|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
又所求二面角為銳角，）
所以求二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法解二面角是解決本題的關(guān)鍵．