Question

某種汽車購買時(shí)費(fèi)用為22.5萬元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.8萬元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.1萬元，第二年0.3萬元，第三年0.5萬元，…，依等差數(shù)列逐年遞增．
（Ⅰ）設(shè)使用n年該車的總費(fèi)用（包括購車費(fèi)用）為f（n），試寫出f（n）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算（即該車使用多少年平均費(fèi)用最少）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）依等差數(shù)列逐年遞增，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得到f（n）的表達(dá)式；
（II）由（I）中使用n年該車的總費(fèi)用，我們可以得到n年平均費(fèi)用表達(dá)式，根據(jù)基本不等式，我們易計(jì)算出平均費(fèi)用最小時(shí)的n值，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）依題意f（n）=22.5+[0.1+0.3+0.5+…+（0.2n-0.1）]+0.8n    
=0.1n²+0.8n+22.5；
（Ⅱ）設(shè)該車的年平均費(fèi)用為S萬元，則有S=

1

n

f（n）=0.1n+

22.5

n

+0.8≥2

2.25

+1=4
當(dāng)且僅當(dāng)0.1n=

22.5

n

，即n=15時(shí)，等號(hào)成立．
故：汽車使用15年報(bào)廢為宜．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，數(shù)列的應(yīng)用，其中（I）的關(guān)鍵是由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得到f（n）的表達(dá)式，（II）的關(guān)鍵是根據(jù)基本不等式，得到函數(shù)的最小值點(diǎn)．