Question

已知函數(shù)f（x）=

3x-1

x

，x＞0，是否存在實(shí)數(shù)a，b（0＜a＜b），使得函數(shù)定義域和值域均為[a，b]？若存在，求a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計(jì)算題

分析：先由導(dǎo)函數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，討論出符合題意的區(qū)間，聯(lián)立方程組解出即可．

解答： 解：∵f′（x）=

1

x2

＞0，
∴f（x）在定義域上是增函數(shù)；
令f（x）=0，解得：x=

1

3

，
∴在（0，

1

3

]上，f（x）≤0，不合題意，
假設(shè)在（

1

3

，+∞）上存在實(shí)數(shù)a，b（0＜a＜b），使得函數(shù)定義域和值域均為[a，b]，
由題意得；

f(a)=a f(b)=b

即：

3a-1 a =a 3b-1 b =b

，
解得：a=

3- 5

2

，b=

3+ 5

2

；
∴存在這樣的實(shí)數(shù)a=

3- 5

2

，b=

3+ 5

2

使得函數(shù)定義域和值域均為[a，b]．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于求函數(shù)的值域的問題，滲透了分類討論思想，可畫出草圖幫助解題．