Question

4．已知函數(shù)f（x）=2e^x+$\frac{1}{2}$ax²+ax+1有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，-2）
• C． （-2，+∞）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 由原函數(shù)有兩個(gè)極值，可知其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為直線y=-ax-a與曲線y=2e^x有兩個(gè)不同交點(diǎn)求解．

解答 解：由f（x）=2e^x+$\frac{1}{2}$ax²+ax+1，
得f′（x）=2e^x+ax+a，
要使f（x）=2e^x+$\frac{1}{2}$ax²+ax+1有兩個(gè)極值，
則方程2e^x+ax+a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即2e^x=-ax-a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
令y=2e^x，y=-ax-a，
直線y=-a（x+1）過(guò)點(diǎn)（-1，0），設(shè)直線y=-a（x+1）與y=2e^x的切點(diǎn)為（x₀，$2{e}^{{x}_{0}}$）．
則y′=$2{e}^{{x}_{0}}$，
則切線方程為y-$2{e}^{{x}_{0}}$=$2{e}^{{x}_{0}}$（x-x₀），
代入（-1，0），得-$2{e}^{{x}_{0}}$=$2{e}^{{x}_{0}}$（-1-x₀），解得：x₀=0．
∴切點(diǎn)為（0，2），則過(guò)（-1，0），（0，2）切線的斜率為k=$\frac{2-0}{0-（-1）}$=2，
由-a＞2，得a＜-2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜-2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，求出過(guò)（-1，0）與曲線相切的直線的斜率是關(guān)鍵，是中檔題．