Question

15．已知角A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，那么$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{20}{27}$]
• B． （0，$\frac{16}{27}$]
• C． （0，$\frac{9}{16}$]
• D． （0，$\frac{7}{16}$]

Answer 1

分析 由三角函數(shù)恒等變換的應用化簡原式可得$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C，利用不等式abc≤（$\frac{a+b+c}{3}$）³當且僅當a=b=c時取“=”，即可求得最大值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C
=$\frac{1}{2}$cos（A-B）sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C
≤$\frac{1}{2}$sin²C+$\frac{1}{2}$cosCsin²C（當且僅當A=B時取“=”）
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）sin²C
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cos²C）
=$\frac{1}{2}$（1+cosC）（1-cosC）（1+cosC）
=$\frac{1}{4}$（1+cosC）（2-2cosC）（1+cosC）
≤$\frac{1}{4}$（$\frac{1+cosC+1+cosC+2-2cosC}{3}$）³=$\frac{1}{4}×（\frac{4}{3}）^{3}$=$\frac{16}{27}$．當且僅當“1+cosC=2-2cosC”，即cosC=$\frac{1}{3}$且A=B時取“=”．
又∵角A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，
∴由和差化積公式可得：$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C=sinAsinBsin²C＞0．
綜上，可得$\frac{1}{2}$[cos（A-B）-cos（A+B）]sin²C的取值范圍是：（0，$\frac{16}{27}$]．
故選：B．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，基本不等式的應用，綜合性技巧性較強，屬于難題．