Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示一個圓．
（1）求t的取值范圍；
（2）求圓的圓心和半徑；
（3）求該圓的半徑r的最大值及此時圓的標準方程．

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（1）直接利用二元二次方程表示圓的條件，列出不等式即可求出t的取值范圍；
（2）利用圓的一般方程，直接求圓的圓心和半徑；
（3）化簡該圓的半徑r的表達式，通過二次函數(shù)的最值的求法，求出最大值，即可求解圓的標準方程．

解答： 解：（1）由圓的一般方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0得：
[-2（t+3）]²+4（1-4t²）²-4 （16t⁴+9）＞0，…（1分）
即：-7t²+6t+1＞0，…（2分）
解得：-

1

7

＜t＜1．…（3分）
（2）圓心為：（-

-2(t+3)

2

，-

2(1-4t2)

2

）即圓心為：（t+3，4t²-1）…（4分）
半徑r=

1

2

[-2(t+3)]2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)

=

-7t2+6t+1

；…（6分）
（3）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，…（8分）
所以當t=

3

7

 時，r_max=

2 7

7

，…（10分）
故圓的標準方程為：（x-

24

7

）²+（y+

13

49

）²=

16

7

．…（12分）

點評：本題考查二元二次方程表示圓的充要條件，圓的一般方程的應用，考察計算能力．